On factorise alors sous la forme suivante Q(x)=a(x1+Ca)(x2+Ba)+(D−BCa). Q ( x ) = a ( x 1 + C a ) ( x 2 + B a ) + ( D − B C a ) . Puis on utilise que uv=14((u+v)2−(u−v)2) u v = 1 4 ( ( u + v ) 2 − ( u − v ) 2 ) pour obtenir finalement Q(x)=a4(x1+x2+B+Ca)2−a4(x1−x2+C−Ba)2+(D−BCa).
La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.
Le noyau d'une forme quadratique Q (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace V tout entier. Cet espace est le noyau de l'application linéaire de V dans l'espace dual V* qui associe à x la forme linéaire y ↦ B(x, y).
Fonction f définie par une relation de la forme f(x) = ax2 où le paramètre a, différent de 0, caractérise l'ouverture et le sens de la concavité du graphique en forme de parabole qui représente cette fonction dans un plan cartésien.
déterminer le cône isotrope Z(q) := {u ∈ E : q(u)=0}. a) q : (x, y) ∈ C2 ↦→ x2 + y2 ∈ C ; b) q : (x, y) ∈ C2 ↦→ x2 ∈ C. 2) On suppose k = R.
u = projv1 ( v2) = − 1 5 (1, 2). v1 · w = v1 · v2 − v1 · ( v1 · v2 v1 · v1 ) v1 = v1 · v2 − ( v1 · v2 v1 · v1 ) v1 · v1 = 0. 5, −3 5 ) forment une base orthogonale de R2.
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres. On dira qu'une matrice est facile si l'une de ses colonnes a tous ses nombres nuls sauf exactement un.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
On dit que M est combinaison linéaire de A,B et C ssi M est de la forme aA + bB + cC, avec a,b,c réels. On sait dire ça de trois autres façons : on peut trouver trois nombres a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC, il existe trois réels a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy.
Le produit scalaire permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et (avec certaines modifications dans la définition) aux espaces vectoriels complexes.
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut : chercher une famille génératrice B de F ; si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite
Le point d'intersection I de (D) et de (D') est son propre projeté : p(D')(I) = I. M'N' = MN·cos θ.
Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
On note le produit vectoriel par un point dans un rond si le sens est du bas vers le haut et si le sens du vecteur est du haut vers le bas on note une croix dans un rond. On a la norme du vecteur c, mais on n'a ni sa direction, ni son sens. Pour les trouver on va utiliser la règle dite de la main droite.
Le nombre de combinaisons des n éléments d'un ensemble E pris k à la fois est donné par la relation suivante : Ckn=n!k! (n−k)!
La combinaison. La combinaison d'un ensemble d'éléments est une disposition non ordonnée d'un certain nombre d'éléments de cet ensemble. On peut aussi employer la formule suivante : Ckn=(nk)=n!k! (n−k)!