Pour chercher une démonstration, il faut partir des données de l'énoncé et essayer d'en déduire, grâce à des propriétés, des conclusions.
En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie. Les démonstrations utilisent la logique mais incluent habituellement des éléments du langage naturel en évitant tant que possible d'introduire des ambiguïtés.
➢ Faire des phrases courtes, simples, précises. ➢ Aller à la ligne à chaque phrase, et ne pas oublier les petits mots de liaison. ➢ Ne pas répéter les mêmes choses sous une forme différente. ➢ Ne jamais perdre de vue le point d'arrivée, c'est à dire ce qu'il faut démontrer.
Inventé par Aristote, le terme désigne un raisonnement qui permet à partir de deux prémisses (ou propositions premières) d'en dégager une troisième. Il y plusieurs types de démonstrations : par l'absurde, par le contre-exemple ou par probabilité Chacune de ces démonstrations obéit à des normes particulières.
Le raisonnement mathématique fait appel à des règles d'inférence et de déduction faisant intervenir des définitions, des énoncés admis comme prémisses, des lois ou propriétés, des résultats préalablement obtenus également par raisonnement, dans le but de démontrer des hypothèses ou des conjectures.
- Le raisonnement inductif : il part d'observations particulières pour aboutir à une conclusion de portée générale. - Le raisonnement déductif : il part d'une idée générale pour en déduire des propositions particulières. - Le raisonnement par analogie : il procède à une comparaison avant d'aboutir à une conclusion.
La démonstration est la démarche adoptée par les mathématiciens pour apporter une preuve de leurs affirmations. Cette démarche suit des règles qui permettent d'éviter les pièges cités précédemment. L'apprentissage de la démonstration est progressif au collège.
A) Les principes de la démonstration
Ne pas se contredire : principe de non-contradiction. Ne pas nier l'existence d'une chose qui est : principe d'identité. Il n'y a pas de milieu entre le vrai et le faux : principe du tiers-exclu.
Un théorème se démontre à partir d'hypothèses de base et de règles d'inférence. La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.
Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c'est-à-dire si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres. On veut tester l'égalité 2 + 4x + 3 = 1,5 × x × 2 + x + 5.
En mathématiques, on rencontre souvent des égalités: exemples : 1+2+3=1+4+1, 1+1=5, x=2010, x+5=15, (x+1)²=x²+2x+1, etc.
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.
Une affirmation de la forme P⇔Q est équivalente à (P⇒Q)∧(Q⇒P). Pour prouver P⇔Q, il suffit donc de prouver P⇒Q et de prouver Q⇒P.
Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n_0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n_0.
Suite d'affirmations logiquement ordonnées à partir d'un certain nombre d'hypothèses et devant conduire à une conclusion attendue.
La démonstration est un raisonnement qui permet d'établir une vérité. Systématiquement utilisée en mathématiques, elle procède par enchaînement logique en respectant des règles rigoureuses, sans quoi elle n'est pas valide.
Il y a de nombreux moyens pour découvrir une vérité : en prendre connaissance tout en faisant confiance aux sources de transmission, avoir une intuition intellectuelle, une expérience indubitable, voire une révélation esthétique ou mystique.
Théorème de Pythagore (P) Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Grâce au raisonnement, nous pouvons partir de certaines informations de base, des prémisses, et, au bout du compte, obtenir de nouvelles informations, des conclusions. Chaque jour, notre raisonnement se manifeste en de très nombreuses occasions sans que nous n'en ayons toujours conscience.
Du latin theorema issu du grec ancien θεώρημα , theốrêma (« spectacle, fête, contemplation »), dérivé, avec le suffixe -μα , -ma, de θεωρέω , theôréô (« examiner, regarder, considérer »), de θέα , théa (« contemplation ») et ὁράω , horáô (« regarder, voir ») → voir théorie et théâtre.