La principale différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique est que dans une suite arithmétique, les nombres sont fixés de manière à ce que la différence entre les deux termes consécutifs reste fixe. Dans une suite géométrique, il existe un rapport fixe entre n'importe lequel des termes successifs.
Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Par exemple, la suite. 3,5,7,9,...
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
Pour trouver la raison d'une suite géométrique avec deux termes, il faut donc suivre les étapes suivantes: Exprimer les deux termes donnés avec la formule en fonction de n. Réaliser le quotient de ces deux termes et simplifier. Utiliser la racine carrée ou la racine cubique pour trouver la valeur de la raison.
Solution. Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
On considère une suite géométrique (un) dont on connaît la raison q et le premier terme u0. Alors, pour tout entier naturel n, un=u0×qn.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Définition 4 On appelle séries géométriques les séries de terme général Un = qn. Le terme q se nomme la raison de la série. lorsque q = 1 alors Sn = (n + 1) donc la suite (Sn) diverge.
La règle de calcul de limite est simple : si 0<q<1 alors limqn=0. si q=1 alors limqn=1. si q>1 alors limqn=+∞.
Le sens de variation d'une suite géométrique de raison et de premier terme positif est : si la suite est strictement croissante, si 0 < q < 1 la suite est strictement décroissante, si , alors les termes consécutifs de la suite changent alternativement de signe, et la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121. 2.
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant.
Pour tout entier n ⩾ 1, la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. k = n(n + 1) 2 . k =1= 1(1 + 1) 2 . + (n + 1) .
si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge également, si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge également, Si un∼vn, alors les séries de terme général un et vn sont de même nature.
En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.
La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes .
Méthode. On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0.
2- Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Remarque2: cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
En mathématiques, la raison est la valeur qui permet de passer d'un terme au suivant dans certaines suites définies par récurrence.
Le nième terme d'une suite arithmétique est égal à la somme du premier terme et du produit de la raison par (n-1). Le nième terme de la suite est donc donnée par la formule suivante : a+r(n−1) a + r ( n − 1 ) .