On dit que : • f est un endomorphisme si E = F ; f est un isomorphisme si elle est linéaire bijective ; • f est un automorphisme si c'est un endomorphisme bijectif. f est une forme linéaire si F = K.
Un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe.
L'image Im(f) est un sous-groupe de G′ . Si G′ est abélien, le conoyau de f est le groupe quotient G′/Im(f) G ′ / Im ( f ) . Si G′ n'est pas abélien, il s'agit du quotient de G′ par la clôture normale de Im(f) .
Définition 2.7 Si un morphisme de groupes f : G → G est bijectif, on dit que c'est un isomor- phisme. Si de plus G = G, on dit que f est un automorphisme de G.
application. On dit que u est linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, u(λx + µy) = λu(x) + µu(y). Lorsque E = F, un morphisme de E dans lui même s'appelle un endomorphisme.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l'espace ℂ entier. fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bˉz. L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+|b|2=12Re(a)b=0.
Nombres : • (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l'opposé et l'inverse d'un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ; • (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens avec élément neutre = zéro 0 ; • si on note Z∗ = Z \ {0} (et même chose pour Q, R et C), l'ensemble (Z∗, ·) n'est pas un ...
Une application est bijective si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est à la fois injective et surjective.
Théorème de la bijection entre segments — Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).
∀ x ∈ ker(f), f(x)=0. L'ensemble des x forme un sous espace vectoriel de l'ensemble de départ. Im(f) est l'ensemble des y ∈ l'ensemble d'arrivée qui ont un antécédent par f, Im(f) fome aussi un sous espace vectoriel.
Soit G un groupe cyclique d'ordre p. q, où p et q sont deux entiers strictement positifs, alors il n'existe qu'un seul sous-groupe H d'ordre p et, si g est un élément générateur de G, alors gq est un élément générateur de H (qui est par conséquent cyclique).
Démonstration : si f est bijective, alors elle est injective. On a alors Ker f = {0} et, d'apr`es le théor`eme du rang, dim E = rg f = dim Im f. Comme Im f ⊂ F et que dim E = dim F, on en déduit que Im f = F et f est surjective.
Par définition, un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On est en dimension finie, donc il suffit de montrer au choix que f est injective ou f est surjective. Il faut montrer que Id-f est un automorphisme, et déterminer sa bijection réciproque.
On dit que S est antisymétrique si, dans les mêmes conditions : où ε(σ) désigne la signature de la permutation σ. Toute application p-linéaire alternée est antisymétrique ; la réciproque devient vraie si la caractéristique du corps K est différente de 2.
Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques .
On dit que f est surjective de E SUR F ou que c'est une surjection de E SUR F si : ∀y ∈ F, ∃ x ∈ E, y = f (x), ce qui revient à dire que l'image de f est égale à F : f (E) = F, ou encore que tout élément de F possède AU MOINS un antécédent dans E par f .
Par exemple, trouver la fonction réciproque de f (x) = 3 x + 2. Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a.
En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble Gδ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts. utilisée dans la hiérarchie de Borel.
Si une opération * est définie dans un ensemble E, alors n est un élément neutre de l'opération * si et seulement si, quels que soient les éléments x de E, on a : x * n = x.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l' ...
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.
On a, f(e1) = (2,-1,5) = 2v1 -5v2, f(e2)=(-1,-1,-1) = -v1 +v2, f(e3) = (1,0,0) = v1 -v2 -v3. Donc, MC,B(f) = 2 -1 1 5 1 -1 0 0 -1 . Exercice 1-4 Soient c = (e1,e2,e3) la base canonique de R3.