Méthode. On considère une suite géométrique (un) dont on connaît la raison q et le premier terme u0. Alors, pour tout entier naturel n, un=u0×qn.
Terme général
Une suite géométrique peut aussi être définie à partir d'un rang quelconque n0, soit, pour tout n ≥ n0, par : qui suit la même relation de récurrence. Ce cas se ramène au cas précédent en posant vn = un0+n qui est géométrique de même raison que un à partir de v0 = un0.
Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0. On obtient alors u0+1=f(u0), c'est à dire u1=f(u0).
Le terme général d'une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇 , est une expression algébrique qui relie le terme à son rang dans la suite. On considère le terme général 𝑇 = 3 𝑛 + 4 . Par conséquent, les trois premiers termes sont 7, 10 et 13.
Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial).
Il est possible de retrouver le terme général à partir de la suite des sommes partielles par les formules. Ainsi toute somme partielle est une suite, mais toute suite est également une somme partielle (associée à la série des différences des termes consécutifs, avec un premier terme nul).
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r . Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant.
Une suite est une succession de termes qui suivent un certain schéma. Elle peut être définie de manière récurrente ou explicite.
Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. Le nombre r est appelé raison de la suite.
Formule de la raison d'une suite arithmétique
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 .
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini : Par exemple, la série de terme général un = (-1)n est divergente. En effet, S2n = 1 et S2n+1 = -1, les sommes partielles reste finies mais ne convergent pas.
Théorème : Si la série (de réels positifs) ∑n∥un∥ ∑ n ‖ u n ‖ converge, alors la série ∑nun ∑ n u n converge. On dit alors que la série est absolument convergente.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
La zone 1 couvre les États-Unis et leurs territoires du Pacifique, le Canada, ainsi que certaines parties des Caraïbes et les Bermudes. Toute la zone est gérée par la North American Numbering Plan Administration (NANPA, Administration du plan de numérotation nord-américaine) et possède un unique indicatif : +1.
Suites : définition et construction
Pour créer une suite, on prend des objets mathématiques appartenant à un ensemble et on leur attribue à chacun un numéro (un entier naturel) : les éléments de la suite sont appelés les termes ; quand aux numéros, ils sont appelés indices ou rangs.
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
Graphiquement, une suite arithmétique est représentée par des points alignés dans un repère. La somme des quatre premiers termes peut s'écrire S=u0+u1+u2+u3. S = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 . Donc attention au décalage si la suite commence au rang zéro.
Une série géométrique est dite convergente si la valeur absolue de sa raison 𝑟 est strictement inférieure à 1 : | 𝑟 | < 1 . Nous avons dit dans ce qui précède que, dans le cas des séries convergentes, − 1 < 𝑟 < 1 . Ainsi, lorsque 𝑛 tend vers l'infini, 𝑟 tend vers zéro.
C'est au mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français Blaise Pascal(1623-1662) dans son Traité du triangle arithmétique écrit en 1654 mais publié en 1665, que l'on attribue la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.
Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.