Comment déterminer la représentation paramétrique d'un plan ? Pour déterminer la représentation paramétrique d'un plan, nous devons avoir les coordonnées de trois points du plan, ou d'un point du plan et deux vecteurs directeurs. Ensuite, il faut remplacer les valeurs pertinentes dans une formule.
Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique. Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ . La représentation paramétrique d'une droite est .
La représentation paramétrique d'une droite donne les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chaque point appartenant à la droite en fonction du paramètre. Tout point appartenant à une droite peut être utilisé pour obtenir les équations paramétriques de la droite.
Les équations paramétriques d'une droite sont de la forme 𝑥 = 𝑥 + 𝑡 𝑙 , 𝑦 = 𝑦 + 𝑡 𝑚 , 𝑧 = 𝑧 + 𝑡 𝑛 , où ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) sont les coordonnées d'un point appartenant à la droite, ( 𝑙 , 𝑚 , 𝑛 ) est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un nombre réel (le paramètre) qui varie de − ∞ à + ∞ .
Pour montrer qu'une droite appartient un plan il suffit de montrer que deux points de cette droite appartient au plan. Remarque: si un une droite n'est pas parallèle à un plan elle lui est sécante, si une droite n'est pas sécante à une droite elle lui est parallèle.
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Méthode utilisant l'appartenance des trois points A, B et C
donc : -3a + b + c + d = 0. Exprimons les variables a, b, c et d en fonction d'une par exemple a : on "retombe" bien sur la même équation ou sur une équation dont les coefficients sont proportionnels à ceux trouvés dans la première méthode.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan .
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs . Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P.
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Conclure. On place l'abscisse du point A dans l'équation de la droite, et on conclut : Si l'on obtient bien l'ordonnée de A, alors A appartient à la droite. Si l'on obtient un nombre différent de l'ordonnée de A, alors A n'appartient pas à la droite.
Autrement dit, c'est un peu comme deux droites d'un même plan. Pour démontrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que deux vecteurs normaux associés respectivement aux deux plans sont non colinéaires.
Propriété Un vecteur n est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Méthode à utiliser Pour montrer que le vecteur й est normal au plan (ABC), on vérifiera que й est orthogonal à AB et AC (on peut aussi raisonner avec AB et BC ou bien encore avec AC et BC).
En déduire que : M(x; y) ∈ C(I; r) ⇐⇒ ∃t ∈ R, x = a + r cost et y = b + r sin t Ecrire cette équivalence en utilisant l'affixe z = x + yi du point M et l'affixe ω = a + bi du point I. est une représentation paramétrique du cercle C.
Dans le plan (SAC), on applique le théorème des milieux : I et K sont les milieux respectifs de [SA] et [SC], donc la droite (IK) est parallèle à la droite (AC). Or pour prouver qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de prouver que cette droite est parallèle à une droite de ce plan.
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres.
I) Projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace
Si la droite Δ admet pour vecteur directeur le vecteur →u, alors : →AH⋅→u=0. Si le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H, alors la distance du point A à la droite Δ est : d(A ; Δ)=AH.
Si la droite (D) passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) et si xA est différent de xB, alors, on peut calculer le coefficient directeur de (D): a=(yB-yA)/(xB-xA). Soit (D) : ax+by+c=0 [Lire: la droite (D) d'équation cartésienne ax+by+c=0].
Si d ≠ 0, le plan ne passe pas par l'origine du repère. u non nul est orthogonal ( ou normal ) à un plan si sa direction est une droite orthogonale au plan.
Position relative d'une droite et d'un plan
Penser à utiliser le nombre de point d'intersection: Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan. Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0.
Placer un point dans le plan :
On cherche sur l'axe des ordonnées le point d'ordonnée −1 et on trace une droite horizontale passant par ce point ; Le point A est à l'intersection de ces deux droites.