Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N . Alors on appelle loi de X la donnée de la suite (pn)n∈N ( p n ) n ∈ N définie par pn=P(X=n) p n = P ( X = n ) .
Théorèmes de convergence
Définition : On dit qu'une variable aléatoire X est absolument continue s'il existe une fonction f , positive et intégrable, telle que, pour tout intervalle I de R , on ait : PX(I)=P(X∈I)=∫If(t)dt. P X ( I ) = P ( X ∈ I ) = ∫ I f ( t ) d t .
La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m = 131 et d'écart-type σ = 3 . X suit la loi normale de moyenne 131 et d'écart-type 3, donc T = X − 131 3 suit la loi normale centrée réduite. On obtient donc en soustrayant 131 puis en divisant par 3 : P ( − h 3 < T < h 3 ) = 0.33 .
Conséquence (Propriété 1.5) : Si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors cov(X, Y ) = . Donc si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
Vous devez séparer la moitié inférieure à la médiane en 2. Le quartile inférieur sera donc la valeur du point de rang (5 +1) ÷2 = 3, ce qui donne Q1=15. La moitié supérieure à la médiane est également séparée en 2. Le quartile supérieur sera la valeur du point de rang 6 + 3 =9, ce qui donne Q3 = 43.
Lorsque la population actuelle est plus petite que la taille maximale ( 𝑋 ( 𝑡 ) < 𝐾 ) , le ratio 𝑋 ( 𝑡 ) 𝐾 devient plus petit que 1 et le terme ( 1 − 𝑋 ( 𝑡 ) 𝐾 ) est alors positif. Comme 𝜆 > 0 et 𝑋 ( 𝑡 ) > 0 , le taux de variation est positif et la population croît.
La règle des trois sigmas exprime une heuristique fréquemment utilisée : la plupart des valeurs se situent à moins de trois fois l'écart-type de la moyenne. Pour de nombreuses applications pratiques, ce pourcentage de 99,7 % peut être considéré comme une quasi-certitude.
En statistiques, les tests de normalité permettent de vérifier si des données réelles suivent une loi normale ou non. Les tests de normalité sont des cas particuliers des tests d'adéquation (ou tests d'ajustement, tests permettant de comparer des distributions), appliqués à une loi normale.
Pour une loi binomiale de n épreuves, on peut formaliser l'univers par {0 ;1}n. Soient k un entier naturel inférieur ou égal à n et X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. Alors P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète est entièrement déterminée par les probabilités pi des évènements X=xi , xi parcourant l'univers image X(Ω). La loi de probabilité est donnée par les (xi,pi)i .
D'après le texte, une variable discrète est une variable que l'on peut compter, et les variables continues sont celles qui sont mesurées. L'exemple donné dans le texte pour une variable continue est la distance qu'une voiture peut parcourir avec un plein de carburant.
Dans le cas d'un jeu ayant une ou des probabilités de gain et une ou des probabilités de perte, l'espérance mathématique se nomme plus souvent espérance de gain, Eg, et peut se calculer de cette façon. Eg = (1re probabilité de gagner) × (1er gain possible) + (2e probabilité de gagner) × (2e gain possible) + …
On dit que deux variables aléatoires X et Y suivent la même loi si PX=PY P X = P Y , et on note alors X∼Y X ∼ Y .
Le mode xm est tel que p(xm) ≥ p(x) ou f(xm) ≥ f(x) pour tout x ≠ xm tous deux dans le support de la loi.
Une variable aléatoire X suit une loi Bernoulli si P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p, où p représente la probabilité d'occurrence de l'événement. La loi de Bernoulli est une loi discrète qui est liée à de nombreuses autres lois, telles que les lois binomiale, géométrique et binomiale négative.
Il existe plusieurs méthodes pour évaluer si les données sont normalement distribuées, et elles se répartissent en deux grandes catégories : les méthodes graphiques (comme l'histogramme, le diagramme de probabilité QQ) et les méthodes analytiques (comme le test de Shapiro-Wilk, le test de Kolmogorov-Smirnov) .
68 % des observations se situent à moins d'un écart-type de la moyenne (σ). 95 % des observations se situent à moins de deux écarts-types de la moyenne (2σ). 99,7 % des observations se situent à moins de trois écarts-types de la moyenne (3σ).
Ce processus est connu sous le nom de standardisation de la loi normale. Si 𝑋 est une variable aléatoire normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎 , alors 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎 est la variable aléatoire normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type 1.
1 sigma = 68 %, 2 sigma = 95,4 % , 3 sigma = 99,7 %, 4 sigma = 99,99 % et plus. On peut aussi le concevoir en calculant 1 - probabilité.
La valeur de Z représente le décalage en nombre d'écart-type par rapport à la moyenne. Elle peut être positive ou négative. Une valeur de Z=2, signifie que ce point est supérieur à la moyenne µ et le décalage par rapport à cette dernière est de 2 écart-types σ.
Calcul de la probabilité d'un événement
Par exemple, si vous tirez une carte dans un jeu de 52 cartes, la probabilité d'obtenir un as est : P(as) = Nombre de cas favorables (as)/Nombre total de cas possibles (cartes) = 4/52 = 1/13.
Il est simple : « la population progresse plus vite que les subsistances » ce qui engendre un « déséquilibre croissant ». Il part d'un constat pour lui évident qui est que les surfaces cultivables s'additionnent alors que les bouches à nourrir se multiplient.
On appelle s -mesure de Hausdorff de E le réel Hs(E)=supε>0Hsε(E) H s ( E ) = sup ε > 0 H ε s ( E ) où Hsε(E)=inf{+∞∑i=1(diam(Bi))s: E⊂+∞⋃i=1Bi} H ε s ( E ) = inf { ∑ i = 1 + ∞ ( diam ( B i ) ) s : E ⊂ ⋃ i = 1 + ∞ B i } les Bi étant des boules fermées de diamètre inférieur ou égal à ε .
Exemples : si vous êtes une femme mesurant 1 m 65, votre poids idéal selon la formule de Lorentz sera : 165 – 100 – ((165- 150)/2,5) = 59 kg. si vous êtes un homme mesurant 1 m 80, votre poids idéal selon la formule de Lorentz sera : 180 – 100 – ((180 - 150)/4) = 73 kg.