a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
Un nombre entier est un carré parfait si c'est le carré d'un autre nombre entier. Ainsi, les premiers carrés parfaits sont 1,4,9,16,25,...
Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un autre entier. 25, 36 et 81 sont des carrés parfaits.
Le carré de 324 est 104 976 car 324 × 324 = 3242 = 104 976.
Ici, la racine de 121 est égale à 11. Donc la racine carrée de 121 est un nombre entier, et par conséquent 121 est un carré parfait. Par conséquent, 11 est la racine carrée de 121.
Le carré d'un nombre (ici 144) est le produit de ce nombre (144) par lui-même (c'est-à-dire 144 × 144) ; le carré de 144 est aussi parfois noté « 144 à la puissance 2 ». Le carré de 144 est 20 736 car 144 × 144 = 1442 = 20 736. Par conséquent, 144 est la racine carrée de 20 736.
Le carré d'un nombre (ici 196) est le produit de ce nombre (196) par lui-même (c'est-à-dire 196 × 196) ; le carré de 196 est aussi parfois noté « 196 à la puissance 2 ». Le carré de 196 est 38 416 car 196 × 196 = 1962 = 38 416. Par conséquent, 196 est la racine carrée de 38 416.
Exemples. 16 est un carré parfait parce que 4² = 16 et 4 est un nombre naturel. 20 n'est pas un carré parfait car √20 n'est pas un nombre naturel.
Quel est le carré de 289 ? Le carré d'un nombre (ici 289) est le produit de ce nombre (289) par lui-même (c'est-à-dire 289 × 289) ; le carré de 289 est aussi parfois noté « 289 à la puissance 2 ». Le carré de 289 est 83 521 car 289 × 289 = 2892 = 83 521.
2 – Quel est le carré de 18 ? 182 = (20 – 2)2 = 202 – 2 x 20 x 2 + 22 = 400 – 80 + 4 = 324.
Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.
Un nombre entier qui est le carré d'un nombre est appelé "carré parfait". Par exemple, 9 est un carré parfait car 9=3².
III) Notations. Si on note C(n) le nombre de carrés modulo n, alors C(10n) est le nombre de terminaisons possibles à n chiffres des carrés parfaits en base 10. C(10) = 6, C(102) = 22, C(103) = 159, C(104) = 1 044, C(105) = 9 121, C(106) = 78 132, C(107) = 748 719, C(108) = 7 161 484, C(109) = 70 800 861, etc.
Algèbre Exemples
Un carré parfait est un entier qui est le carré d'un autre entier. √81=9 , qui est un nombre entier. Comme 81 est le carré de 9 , c'est un carré parfait.
Par convention, le premier nombre carré est égal à 1, bien que 0 soit un carré parfait (0×0=0). Remarquons que le produit de deux nombres carrés, est un nombre carré.
La racine carrée de 25 est 5, car 5 x 5 = 25. La racine carrée de 36 est 6, car 6 x 6 = 36.
Le carré de 20 est le résultat de la multiplication de 20 par lui-même. Ainsi, le carré de 20 est égal à 400.
Un nombre est un carré parfait si sa racine carrée est un nombre entier ; autrement dit, il est égal au produit d'un nombre entier par ce même nombre entier. Ici, la racine de 3 600 est égale à 60. Donc la racine carrée de 3 600 est un nombre entier, et par conséquent 3 600 est un carré parfait.
Le carré d'un nombre (ici 160) est le produit de ce nombre (160) par lui-même (c'est-à-dire 160 × 160) ; le carré de 160 est aussi parfois noté « 160 à la puissance 2 ». Le carré de 160 est 25 600 car 160 × 160 = 1602 = 25 600.
Le carré d'un nombre (ici 82) est le produit de ce nombre (82) par lui-même (c'est-à-dire 82 × 82) ; le carré de 82 est aussi parfois noté « 82 à la puissance 2 ». Le carré de 82 est 6 724 car 82 × 82 = 822 = 6 724.
Le carré de 136 est 18 496 car 136 × 136 = 1362 = 18 496.
Les 20 premiers nombres ou chiffres carréssont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.
La racine carrée de 7 est un nombre compris entre 2 et 3. 2,64575 est la racine carré de 7!