Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants : – les trois milieux des côtés du triangle A' : B' et C' ; – les trois pieds des hauteurs hA; hB et hC ; – les trois points d'Euler eA; eB et eC ; milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.
Coordonnées. Ainsi, si et seulement si la différence entre deux des angles du triangle est supérieure à 90°, une des coordonnées barycentriques est négative, et donc le centre du cercle d'Euler se trouve à l'extérieur du triangle.
En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.
Droite qui, pour un triangle donné, contient son centre de gravité G, son orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit.
La formule d'Euler affirme que, pour un polyèdre convexe, la quantité S−A+F, où S est le nombre de sommets, A le nombre d'arêtes et F le nombre de faces, est toujours égale à 2. S−A+F=2−2g.
Orthocentre. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection H, est nommé orthocentre du triangle.
Orthocentre selon le type de triangle
Triangle rectangle: L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet qui correspond à l'angle droit. Dans la figure ci-dessous, par exemple, les hauteurs sont BF et les segments triangulaires AB et BC eux-mêmes, l'orthocentre étant le sommet B.
Cercle inscrit, cercle circonscrit, cercle d'Euler.
La première bissectrice est la droite y = x qui coupe le plan x-y en deux angles de 45 degrés. La pente de cette droite vaut 1. Par conséquent, toute autre droite parallèle à la première bissectrice aura, dans son équation y = ax + b, un coefficient a valant 1.
En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique. Les sommets sont alors cocycliques, situés sur un même cercle.
médiatrice n.f. Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.
Cette découverte, connue avant Leonhard Euler (1707 ; 1783), est en fait due au mathématicien écossais Robert Simson (1687 ; 1768) à qui on n'a pas attribué le nom car il existe dejà une droite de Simson.
Les 3 médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de chacun de ses côtés. Ces 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
On note H le point d'intersection entre la hauteur et la droite [BC]. On dit que H est le pied de la hauteur.
La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un angle peut également être définie comme l'ensemble des points à égale distance des deux côtés de l'angle. Cette deuxième définition permet de tracer la bissectrice d'un angle avec un compas.
Dans un polyèdre convexe, relation entre le nombre S de sommets, le nombre F de faces et le nombre A d'arêtes, telle que : S + F = A + 2.
Les polyèdres convexes
Un polyèdre convexe est un solide dont les segments joignant deux de ses points quelconques sont entièrement inclus dans la portion d'espace qu'il délimite.
Solide dans lequel tous les points d'un segment de droite qui joint deux points quelconques de sa surface appartiennent aussi au solide.
Le centre de gravité d'un triangle est au 2/3 en partant du sommet de chacune de ses médianes.
Cependant usuellement, les valeurs suivantes sont considérées comme étant caractéristiques de la droite : liberté, hiérarchie, ordre, sécurité, tradition, conservatisme ; par opposition, les valeurs suivantes sont généralement considérées comme étant de gauche : égalité, solidarité, progressisme, insoumission, etc.
Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle. Dans un triangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. Une médiatrice est une droite qui passe par le milieu d'un segment et qui est perpendiculaire à ce même segment.
Les médianes d'un triangle sont concourantes. Le point de concours, s'appelle centre de gravité du triangle.