Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0. et la suite (k|vn|) converge vers 0 par hypothèse.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c'est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques.
L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\geq 1}$, lorsque $x\geq 0$ est fixé. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
Si les séries ont des termes généraux an et bn positifs, avec en outre pour tout n, an ≤ bn : si la série de terme général bn est convergente, celle de terme général an converge aussi (ou, ce qui est équivalent : si la série de terme général an est divergente, celle de terme général bn diverge aussi).
Si les variables Xn, n ∈ N, sont de Bernoulli avec P(Xn = 1) = pn, P(Xn =0)=1 − pn, n ∈ N, pour tout 0 < ε ≤ 1, P(|Xn| ≥ ε) = P(Xn = 1) = pn. pn < ∞, la suite Xn, n ∈ N, converge presque sûrement vers la variable aléatoire X = 0. P(|Xn| ≥ ε) < ∞.
Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.
Théorème 1
Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & . Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend vers 0 et qui sont divergentes (voir ∑ 1 n ci-dessous).
On se ramène donc à étudier les suites (vn) et (wn) comme dans le cas précédent. Rappelons que la suite (un) converge si et seulement si (vn) et (wn) convergent vers la même limite. Pour étudier la monotonie de (un) , l'étude du signe de f(x)−x f ( x ) − x peut également être très utile....
Proposition 1.5. Soit (un) une suite de nombres ≥ 0. La suite converge géométriquement si et seulement si on a lim n √ un < 1. décroissante, donc convergente, et qu'on a lim n √ un = limsn par définition.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
Pour que la suite (fn) ne converge pas uniformément vers zéro sur X, il suffit qu'il existe une suite (xn) de points de X telle que la suite (fn(xn)) ne tende pas vers zéro. et cette condition est suffisante si l'espace E est complet donc, en particulier, si E = R ou C.
Par le principe de récurrence, P(n) P ( n ) est vraie pour tout entier n n et on a bien démontré que la suite (un) ( u n ) est croissante. Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Théorème sur la convergence normale d'une série de Fourier : Soit f : R → C une fonction périodique de période T, continue et lisse par morceaux (C1 par morceaux). =⇒ Alors pour tout t ∈ R, la série de Fourier SN f(t) converge normalement (et donc uniformément), vers f(t) quand N → +∞.
VII Convergence d'une suite vers zéro. Exemple : soit la suite U=(un)n>0 définie par la relation suivante : un = 1/n. Pour avoir, la valeur absolue de la suite U, |un| < 1/10 , il suffit que n ≥ 10. Pour avoir |un| < 10−4 , il suffit que n ≥ 10000.