Pour : Soit la matrice d'ordre 2 : A 2 = ( a i j ) = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) . Si on effectue un développement suivant la 1ère ligne, nous avons : | A 2 | = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 Δ 11 + a 12 Δ 12 = a 11 ( − 1 ) 1 + 1 | M 11 | + a 12 ( − 1 ) 1 + 2 | M 12 | .
Définition : Déterminants d'une matrice d'ordre 2
Le déterminant d'une matrice de taille 2 × 2 notée 𝐴 (qu'on symbolise par | 𝐴 | ) est la différence entre les produits de ses diagonales. Par exemple, | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 .
L'ordre d'une matrice est la dimension de cette matrice. La convention consiste à déterminer d'abord le nombre de lignes puis le nombre de colonnes. L'ordre d'une matrice est écrit comme le nombre de lignes par le nombre de colonnes.
Donner un moyen simple d'obtenir la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2. Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X Y = Y X = 1. On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .
Exemples. L'inverse de 2 est 12 parce que 2×12=1.
Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Déterminant d'une matrice de dimension 3
Il suffit alors d'effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d'en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide.
La matrice identité d'ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In. Pour toute matrice carrée d'ordre n notée A, on dispose des égalités A In = In A = A. Exemple : et .
Définition 1 Une matrice m×n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre (m, n) ou de dimension m × n.
Soit n un entier naturel non nul, si on suppose P ( n ) vraie, c'est-à-dire A^n=3^{n-1}A, alors on a : A n + 1 = A n A = ( 3 n − 1 A ) A = 3 n − 1 A 2 = 3 n − 1 ( 3 A ) = 3 n A . L'égalité P ( n + 1 ) est donc vraie.
Couple de nombres qui représentent le nombre de lignes et le nombre de colonnes d'un matrice. La dimension d'une matrice est synonyme de taille de cette matrice. Si une matrice comporte 3 lignes et 5 colonnes, on dira qu'elle est de dimension 3 par 5.
Pour additionner deux matrices, il suffit d'additionner les éléments occupant les mêmes positions dans chaque matrice. La somme obtenue est une nouvelle matrice. Pour soustraire deux matrices, il suffit de soustraire aux éléments de la première matrice les éléments occupant la même position dans la deuxième matrice.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Selon la formule d'expension en cofacteurs selon la première colonne, on obtient det(A)=(−1)1+1a1,1det(A(1∣1))=1det(B)=det(B), det ( A ) = ( − 1 ) 1 + 1 a 1 , 1 det ( A ( 1 ∣ 1 ) ) = 1 det ( B ) = det ( B ) , puisque ai,1=0 a i , 1 = 0 pour tout i≥2 i ≥ 2 .
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,...,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,...,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b deux bases de E.
Multiplication de matrice 3X3
Les deux matrices doivent donc être compatibles. La multiplication matricielle se fait toujours d'élément à élément en multipliant tour à tour chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la deuxième matrice.
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Un déterminant se trouve devant un nom ou devant un adjectif suivi d'un nom. 2. Une préposition est un déterminant.
Définition d'une matrice inversible
Déterminer si une matrice carrée A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est inversible, c'est déterminer s'il existe une matrice B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que AB = BA = I_n . Dans ce cas, la matrice B est l'inverse de A , et on note B = A^{-1} .
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
On rappelle qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas égal à zéro. On peut voir que l'ordre de la matrice donnée est 2 × 2 , ce qui signifie qu'il s'agit d'une matrice carrée. Donc, nous devons vérifier son déterminant pour voir s'il est égal à zéro.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .