Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Calculer An à l'aide d'une diagonalisation
1) Calculer P2 et vérifier que P est inversible. 2) Vérifier que D=P−1AP est une matrice diagonale que l'on précisera. 3) En déduire pour tout entier n⩾1, l'expression de An en fonction de n.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.
Si la matrice n'est pas carré, elle n'est pas inversible ! et le déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas ! 2) Si A est inversible (et donc carrée) alors l'inverse de A s'écrit A^-1 et A*A^-1 = identité.
La règle de Sarrus nous fournit un moyen de calculer le déterminant sans avoir à calculer les mineurs ou les cofacteurs. Notons, cependant, que le nombre de calculs que nous devons faire est sensiblement le même, sauf qu'il peut être plus facile de se souvenir de cette méthode.
Le déterminant d'un système de n vecteurs est nul si et seulement si ce système est lié (et ce, quelle que soit la base de référence). Le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou endomorphisme) est non inversible.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Pour cela, multipliez M et M-1. La théorie veut que : M x M-1 = M-1 x M = I, I étant la matrice identité, c'est-à-dire une matrice dans laquelle la diagonale est constituée de 1, les autres valeurs étant des 0.
Définition : Soit (→i,→j) une base orthonormée, Soient →u(x1y1) et →v(x2y2) deux vecteurs exprimés dans cette base, On appelle déterminant des deux vecteurs →u et →v le réel x1y2−y1x2.
Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1≤i,j≤n ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1≤i,j≤k ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ k , pour k allant de 1 à n .
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut : échanger les deux coefficients diagonaux. changer le signe des deux autres. diviser tous les coefficients par le déterminant.
Déterminer par le calcul une matrice inverseMéthode
On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}.
Comment calculer les mineurs d'une matrice ? Pour une matrice carrée d'ordre 2, trouver les mineurs c'est calculer la matrice des cofacteurs sans les coefficients. Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, calculer les déterminants de chaque sous-matrice.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi. Finalement on place c'est 4 vecteurs dans les colonnes de la matrice de passage P et on calcule D = P^-1 B P.
L'application définie par le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne. Si deux colonnes d'une matrice sont égales, son déterminant est nul. Le déterminant de la matrice unité est égal à 1.
Dé nition 2.3 (Déterminant de trois vecteurs) Soit u =x1i + y1j + z1k, v =x2i + y2j + z2k, w =x3i + y3j + z3k trois vecteurs de E.