Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ∈] − ∞,x]) = P(X ≤ x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x−).
Que signifie Fonction de répartition ? En statistiques, la fonction de répartition d'une variable aléatoire est définie pour tout nombre réel comme la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à ce nombre réel.
La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ∈ R par FX (t) = P(X ≤ t). Autrement dit, FX (t) est la probabilité de l'événement ”la valeur de X est inférieure ou égale `a t”.
Pour démontrer la continuité à droite de la fonction de répartition, puisqu'elle est monotone (croissante) il suffit de prouver, pour tout réel x0, que : F(x0+1n)⟶F(x0), qd n⟶+∞.
Déterminer la loi de probabilité de X, c'est : lister l'ensemble des valeurs xi prises par X. associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l'évènement X=xi).
Lorsque 2 évènements sont compatibles, la probabilité que l'évènement A ou l'évènement B se produise est P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Les lois de probabilités sont des objets mathématiques qui permettent aux statisticiens de fabriquer des modéles pour décrire des phénomènes où le hasard intervient. Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P.
En statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y).
La fonction de répartition est alors une fonction constante par intervalles et sa représentation graphique est en escalier. Les sauts d'une marche à l'autre de l'escalier se situent aux abscisses si, et l'amplitude du saut d'abscisse s est ps = FX(s) – FX(s–).
Dans le cas d'une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l'évènement {X=a} est nulle, car il est impossible d'observer exactement cette valeur.
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=[a;b] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \int_a^bf\left(x\right) dx= 1.
Contrairement à une variable continue, une variable discrète ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné.
Un pourcentage de répartition (ou une proportion ou une part) représente une partie par rapport à son ensemble. S'il y a 20 jeunes dans une population de 400 habitants, le pourcentage de répartition représente le nombre de jeunes dans une population de 100 habitants (au lieu de 400).
La courbe de Gauss est connue aussi sous le nom de « courbe en cloche » ou encore de « courbe de la loi normale ». Elle permet de représenter graphiquement la distribution d'une série et en particulier la densité de mesures d'une série. Elle se base sur les calculs de l'espérance et de l'écart-type de la série.
La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance. Le nombre de joueurs qui vont gagner au loto la semaine prochaine.
Donc si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors var(X + Y ) = var(X) + var(Y ). Définition (plus faible que l'indépendance) : deux v.a. X et Y sont non- corrélées si cov(X, Y )=0. Il suffit donc que X et Y soient non-corrélées pour que var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
Si X est une variable aléatoire, on appelle fonction caractéristique de X la fonction définie pour tout réel t par ϕX(t)=E(eitX). ϕ X ( t ) = E ( e i t X ) . En particulier, si X admet une densité f , alors la fonction caractéristique de X n'est autre que la transformée de Fourier de f : ϕX(t)=∫Rf(x)eitxdx.
Si on prend a = 1 , b = − x ˉ a = 1, b = -\bar{x} a=1,b=−xˉ, l'échantillon transformé a une moyenne nulle. La moyenne empirique est sensible aux valeurs extrêmes. C'est-à-dire que si une valeur est aberrante, en étant très éloignée de la moyenne, cela va perturber cette dernière.
On appelle fonction de répartition de X la fonction F donnant pour toute valeur x choisie la probabilité que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x. On peut alors définir la notion de densité de probabilité pour une varaible aléatoire. Soit f la fonction densité de probabilité : f est la dérivée de F.
On peut simplifier la formule du nombre de combinaisons sans remise à l'aide de la notation factorielle. Nombre de combinaisonssans remise=n!k! (n−k)! Nombre de combinaisons sans remise = n ! k !
On utilise la formule P(B|A)=P(B∩A)P(A). P ( B | A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) .