La matrice de transition d'une marche aléatoire est la matrice carrée T = m i j T= m_{ij} T=mij dont le coefficient m i j m_{ij} mij est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i.
Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.
On appelle graphe d'une chaîne de Markov (ou d'une matrice de transition ) le graphe dont les sommets sont les états possibles et étant donné x, y ∈ E, il y a une flèche de x vers y si Q(x, y) > 0. Soit X = (Xn) une chaîne de Markov .
Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (Ω, b, P) et à valeurs dans X, telle que pour tout n, et tous points x0,...,xn+1, P[Xn+1 = xn+1|X0 = x0,...,Xn = xn] = P(xn,xn+1).
Les probabilités de transition sont P0,1 = 1, Pk,k = 1, Pi,i = i/k = 1 − Pi,i+1 pour i < k, et Pi,j = 0 ailleurs. On peut facilement construire P puis calculer ses puissances. P est une matrice (k + 1) × (k + 1).
Les chaînes de Markov sont des suites aléatoires sans mémoire, en quelque sorte. Dans l'évolution au cours du temps, l'état du processus à un instant futur ne dépend que de celui à l'instant présent, mais non de ses états antérieurs. On dit souvent que conditionnellement au présent, passé et futur sont indépendants.
Lorsque le processus (Xt)t≥0 prend ses valeurs dans un espace d'états E au plus dénombrable, typiquement E fini ou E = Æ, on parle encore de processus markovien de sauts. représentant l'état du système étudié : X(t, ω), plus souvent noté Xt(ω), est donc l'état du système à la date t pour une réalisation particulière ω.
(µ(x) − µ(x − 1)) et on obtient par récurrence µ(x + 1) − µ(x) puis, pour x ≥ 1, µ(x) = µ(0) q (p q )x . , les mesures invariantes ont une masse infinie donc X est récurrente nulle (car on a déjà vu la récurrence). , les mesures invariantes ont bien sûr une masse totale infinie (la chaîne est transiente).
On dit qu'une chaıne de Markov, ou sa matrice de transition, est irréductible si pour tous x, y ∈ E, la probabilité partant de x d'atteindre y est strictement positive, autrement dit : si pour tous x, y ∈ E, il existe n = nx,y ≥ 1 (dépendant a priori de x et y) tel que Pn(x, y) > 0.
En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La chaıne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent d'une mesure sont de type continu.
La fonction de répartition d'une v.a. est continue à droite en tout point x. En effet soit (xi) 0≤i≤n une suite strictement décroissante tendant vers x. Pour tout i soit Pi l'évènement x < X ≤ xi. Alors P(Pi)=F(xi)-F(x).
Un processus a une finalité, un but
La finalité, le but d'un processus sont contenus dans la définition reprise précédemment : « c'est assurer de manière stable et permanente la promesse faite au client » et découle de celle-ci. Exemple générique : offrir à tel segment de clientèle tel produit selon tels critères.
Caractéristiques d'un processus
Les éléments d'entrée (données ou produits), La valeur ajoutée, Les éléments de sortie (données ou produits), et. Le système de mesure, de surveillance ou de contrôle associé.
Comment fonctionne un processus ? Un processus est un moteur à transformer. Il reçoit des éléments d'entrées aussi appelés « input » (matières premières, informations, compétences…) et y apporte une valeur ajoutée, dont le résultat est appelé « output ».
Une variable discontinue est dite discrète si elle ne contient que des valeurs entières (exemple : nombre d'enfants d'une famille). Par ailleurs, une variable continue accepte toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini (exemple : diamètre de pièces, salaires…).
Une variable discrète est toujours numérique. Par exemple, le nombre de plaintes de clients ou le nombre de défauts. Les variables continues sont des variables numériques ayant un nombre infini de valeurs entre deux valeurs. Une variable continue peut être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure.
On dit qu'une variable est continue si elle prend un nombre infini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné. Prenons la taille d'un élève par exemple. La taille ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. Elle ne peut pas être négative, ni être plus grande que trois mètres.
La variance est utilisée dans le domaine de la statistique et de la probabilité en tant que mesure servant à caractériser la dispersion d'une distribution ou d'un échantillon. Il est possible de l'interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre différentes valeurs avec une probabilité définie pour chacune des occurences, au contraire d'une variable certaine qui ne prend qu'une seule valeur définie, avec une probabilité de 1.
Déterminer la période à partir de la fréquence
Exemple de calcul de période à partir d'une fréquence: si la fréquence est de 20 hertz alors T = 1 / 20 = 0,050 s. si la fréquence est de 0,0100 hertz alors T = 1: 0,0100 = 100 s.
La fréquence est le nombre de périodes par unité de temps ce qui correspond à l'inverse de la période : f=1/T ou f est la fréquence en Hertz (Hz ou s-1) et T la période en seconde (s).
Comment déterminer une période sur un graphique ? Il suffit de repérer le motif élémentaire. Il s'agit du motif qui se répète de manière régulière. On peut ensuite déterminer sa durée en tenant compte de l'échelle de représentation.