En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
∀ λ1,...,λn ∈ K, λ1v1 + ··· + λnvn = 0 =⇒ λ1 = ··· = λn = 0. Une famille qui n'est pas libre est dite liée. Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls.
Si on enlève un vecteur à une famille libre, alors elle ne peut plus être génératrice. En effet, le vecteur que l'on vient d'enlever n'est pas combinaison linéaire des autres, donc il n'est pas dans l'espace engendré par les autres.
Systèmes générateurs
On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) est 'générateur' pour l'espace E si tout vecteur de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des ui. Cela revient à dire que E est le plus petit sous-espace contenant tous les ui.
Une famille est liée si elle n'est pas libre. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de la famille.
Un vecteur, généralement noté →u , est un objet mathématique qui possède à la fois une grandeur et une orientation (soit une direction et un sens). Tout comme son écriture l'indique, le vecteur est en fait une droite qui possède un point de départ et une flèche pour indiquer son point d'arrivée et sa direction.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Pour montrer que U est une famille génératrice de E, on prend un x quelconque dans E et on cherche à l'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment que E est égal à vect(U), on peut directement conclure que U est génératrice de E.
Si tous les vecteurs de la famille appartiennent à un sous-espace vectoriel strict de E (qui est donc inclus dans E, mais qui n'est pas égal à E), cette famille ne peut pas être génératrice de E. Toute famille u_1, u_2,…, u_n de E qui est une base de E est génératrice de E.
Un vecteur libre caractérise donc une grandeur, une direction et un sens mais son origine ou son extrémité peut être fixée librement. Tout vecteur libre peut être représenté par un élément quelconque de l'ensemble des vecteurs géométriques qu'il désigne.
Pour trouver/déterminer des vecteurs propres , prendre M une matrice carré d'ordre n et λi ses valeurs propres. Les vecteurs propres sont les solutions du système (M−λIn)→X=→0 ( M − λ I n ) X → = 0 → avec In la matrice identité.
Le rang d'une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles. Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus, 4 colonnes sur 6 sont non nulles, donc le rang de cette matrice est 4.
Produit vectoriel - Points clés
Le produit vectoriel et le sinus sont reliés par la relation u → ∧ v → = ‖ u → ‖ ‖ v → ‖ sin . La formule du double produit vectoriel est u → ∧ ( v → ∧ u → ) = ( u → ⋅ w → ) v → − ( u → ⋅ v → ) w → . Le produit mixte de trois vecteurs est [ u → , v → , w → ] = ( u → ∧ v → ) ⋅ w → .
Pour ce côté là, il suffit de dire que le cardinal de (u,v) est égal au cardinal de (i,j), autrement dit, (u,v) contient autant de vecteurs que (i,j). Donc (u,v) est génératrice de V. De plus, dim V = 2 car (i,j) est une base de V. Donc (u,v) est une base de V.
Un vecteur est nommé vecteur glissant (ou glisseur) lorsqu'on impose sa droite support. En mécanique du solide indéformable, la force est modélisée par un vecteur glissant.
Définition. Vect(A) est appelé le sous-espace engendré par A. Soit F un sous-espace vectoriel. Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F.
Vecteur : objet mathématique représenté par un segment fléché dont les caractéristiques sont : le point d'application, la direction, le sens et la norme (dite aussi valeur ou intensité).
Un vecteur est un arthropode, groupe comprenant les insectes et les arachnides, qui transmet un agent pathogène : un virus, une bactérie ou un parasite. Il acquière cet agent pathogène en se nourrissant sur un hôte puis le transmet à d'autres individus.
Définition de vecteur nom masculin
Mathématiques Segment de droite orienté, formant un être mathématique sur lequel on peut effectuer des opérations. Grandeur, direction, sens d'un vecteur. Médecine Organisme (spécialement insecte) susceptible de transmettre un agent infectieux d'un sujet à un autre.
Pour compléter une famille libre (v1,…,vp) ( v 1 , … , v p ) d'un espace vectoriel E , on utilise le théorème de la base incomplète : si (e1,…,en) ( e 1 , … , e n ) est une base de E , on sait qu'on peut compléter (v1,…,vp) ( v 1 , … , v p ) avec n−p vecteurs de (e1,…,en) ( e 1 , … , e n ) pour obtenir une base de E .
Vecteur nul :
Lorsque deux points A A A et B B B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 → \overrightarrow{0} 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Nous n'irons pas plus loin pour l'instant, mais nous retiendrons qu'il sera utile d'exprimer chaque vecteur d'un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis...