En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs.
Définition 1.1.1. Un anneau (resp. anneau commutatif) est un groupe abélien (A,+) muni d'une seconde opération m : A×A → A, notée multipli- cativement (i.e. le plus souvent sans symbole : m(a, b) = ab ou avec un point si besoin), qui est associative (resp.
L'ensemble N des entiers naturels n'est pas un anneau, car ce n'est pas un groupe quand on le munit de l'addition : l'existence des opposés fait défaut. C'est un semi-anneau. L'ensemble 2ℤ des entiers (relatifs) pairs n'est pas un anneau, car sa multiplication n'a pas d'élément neutre. C'est un pseudo-anneau.
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Un idéal P d'un anneau commutatif A est appelé un idéal premier lorsque P est une partie stricte de A et, pour tous x, y de A, quand le produit xy est dans P, alors x appartient à P ou y appartient à P. Cette condition équivaut à demander à l'anneau-quotient A/P d'être intègre.
18 et 49 sont premiers entre eux, et donc ¯¯¯¯¯¯18 18 ¯ est inversible dans Z/49Z Z / 49 Z . Pour trouver son inverse, il faut résoudre l'équation de Bezout 18u+49v=1 18 u + 49 v = 1 . Avec l'algorithme d'Euclide ou un logiciel, on trouve que 7×49−19×18=1 7 × 49 − 19 × 18 = 1 .
IDÉAL2, -ALS ou -AUX, subst. masc. 1. Ce que l'on conçoit comme conforme à la perfection et que l'on donne comme but ou comme norme à sa pensée ou son action dans quelque domaine que ce soit.
Z est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul. l'exemple précédent montre que M2(R) M 2 ( R ) n'est pas un anneau intègre.
Si l'on n'exige pas d'un sous-anneau de Q d'être unitaire, on peut définir des sous-anneaux non nul de Q du type suivant: Soit P un sous-ensemble de l'ensemble des nombres premiers et soit a un entier naturel non nul, non divisible par les éléments de P.
Les idéaux maximaux de Z/nZ sont les pZ/nZ, avec p|n premier. Exemple. Les idéaux de Z/8Z sont {0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z et son seul idéal maximal est 2Z/8Z. automorphisme est réalisé par σ : x → (σ(x) :→ xy).
anneau n.m. Cercle de matière dure, qui sert à retenir quelque chose. anneaux n.m. pl.
Un sous-corps d'un corps commutatif K est une partie L de K, stable par + et ×, telle que L munie des lois induites soit un corps.
Sous-algèbre : On qualifie ainsi une partie B d'une algèbre (A, K,+,.,×), stable pour les opérations de A, possédant la structure d'algèbre pour les lois induites. Ce qui revient à dire que B est un sous-espace vectoriel de A et que B est stable pour la multiplication (×) de A.
Il existe une autre technique, c'est de montrer qu'un sous-ensemble d'un groupe est lui-même un groupe : c'est la notion de sous-groupe. Soit (G,⋆) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si : – e ∈ H, – pour tout x, y ∈ H, on a x⋆ y ∈ H, – pour tout x ∈ H, on a x−1 ∈ H.
Si A est un anneau, on dit qu'un élément a de A est inversible s'il existe b de A tel que ab=ba=1 a b = b a = 1 . Un tel élément b est alors unique et est appelé inverse de a . L'ensemble des éléments inversibles de A forme un groupe, appelé groupe des éléments inversibles (ou groupe des unités) de A .
La surjection canonique ou projection canonique est la surjection associée à une relation d'équivalence sur un ensemble. La décomposition canonique d'une application est son écriture comme composée d'une surjection et d'une injection.
Si R est un anneau et E un module (à gauche) sur R, on considère pour chaque a de R l'application fa de E vers E définie par fa(x) = ax, qui est un endomorphisme du groupe abélien E. L'application qui à a associe fa est alors un morphisme d'anneaux de l'anneau R vers l'anneau des endomorphismes de groupe de E.
On note Z/nZ l'ensemble des classes d'équivalence : La classe d'équivalence d'un entier x est le sous-ensemble de Z formé des entiers de la forme kn+x avec k ∈ Z. Dans la suite, on représentera la classe d'équivalence de x par le reste r ∈ {0,...n − 1} de la division euclidienne de x par n.
Le nombre 0 a une infinité de diviseurs , car tous les nombres divisent 0 et le résultat vaut 0 (excepté pour 0 lui-même car la division par 0 n'a pas de sens, il est possible toutefois de dire que 0 est un multiple de 0 ).
Intègre est un terme employé pour qualifier quelqu'un d'entier, honnête, qui est incorruptible et qui est sans failles.
Contraire : concret, matériel, réel.
Marché, arrangement, échange : Proposer un deal à quelqu'un.
idéale. idéaux ou idéals. Qui n'existe pas réellement.