Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. . Le nombre q est appelé raison de la suite.
Pour trouver la raison d'une suite géométrique, il faut diviser un terme de la suite par le terme précédent. Nous rappelons que la raison d'une suite géométrique est le nombre qui vérifie u n + 1 = q u n , pour tout , .
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0. On obtient alors u0+1=f(u0), c'est à dire u1=f(u0).
Une suite est une famille d'éléments qu'on appelle des "termes". Dans ce cours, nous étudions les suites numériques, que l'on peut voir comme des fonctions de N (ensemble des entiers naturels) dans R (ensemble des nombres réels). Les termes de la suite sont donc des réels.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
La zone 1 couvre les États-Unis et leurs territoires du Pacifique, le Canada, ainsi que certaines parties des Caraïbes et les Bermudes. Toute la zone est gérée par la North American Numbering Plan Administration (NANPA, Administration du plan de numérotation nord-américaine) et possède un unique indicatif : +1.
Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121. 2.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
Pour déterminer la raison, nous pouvons calculer la différence entre deux termes consécutifs. Par exemple, la différence entre les deux premiers termes est : 1 9 − 1 2 = 7 . Ceci nous indique que la raison de cette suite arithmétique est égale à 7.
Une suite est une succession de termes qui suivent un certain schéma. Elle peut être définie de manière récurrente ou explicite.
Exemple : Montrons que la suite (Un) définie par Un = 5n + 3 est arithmétique. Un+1 - Un = [5(n + 1) + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3].
Une suite numérique est une suite arithmétique de raison , si la différence entre termes consécutifs est toujours . Autrement dit, il existe un nombre réel tel que u n + 1 = u n + r .
Calcul du terme de rang n Soit u une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q. Ona: u2 = q ×u1 ; u3 = q ×u2 = q ×q ×u1 = q2u1 ; u4 = q × u3 = q × q2u1 = q3u1.
Suites arithmétiques
Il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de connaître la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser est : u n = u 0 + n r où est le premier terme de la suite arithmétique et.
Calculons u10 et u50 : Cette suite commence au rang 0. On utilise la formule un =u0 +nr . Donc : u10 = u0 +10 x r = 2 +10 x 0,5 = 7 et u50 = u0 +50 x r = 2 +50 x0,5 = 27.
On peut donc écrire t=2×n+rang 0. t = 2 × n + rang 0. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs. On peut déterminer la valeur du terme qui serait situé au rang 0.
La puissance électrique échangée par un dipôle, l'intensité qui le traverse et la tension à ses bornes sont liées par la relation : P = U × I.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
À la fin du 19ème siècle, de nombreux monstres mathématiques avaient remis en question toutes les découvertes du passé. Il est temps de prouver (enfin!) les vérités les plus basiques des mathématiques, dont 1+1=2. Pour ce faire, le génie de Peano fut d'inventer une approche purement axiomatique.
Les nombres relatifs
Définition : un nombre muni d'un signe + ou d'un signe − est appelé nombre relatif. Exemples : + 5 ; -2,1 ; + 600,03 ; -0,01 ; -4.
Appelons la suite U car il faut bien lui donner un nom pour travailler avec ! Et décidons de prendre 0 comme indice du premier terme. Alors U_0 est le premier terme de la suite. Ou on peut aussi dire que c'est le terme de rang 0.