L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
L'ensemble des nombres naturels, représenté par le symbole N, regroupe tous les nombres qui servent à compter. N={0,1,2,3,4,5,…}
Construction de l'ensemble Z
des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.
Si un nombre appartient à ℕ, alors il appartient à ℤ. Par exemple : 5 ∈ ℕ donc 5 ∈ ℤ. On dit que l'ensemble ℕ est inclus dans l'ensemble ℤ.
L'ensemble des nombres relatifs se note . (« Z » est l'initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand). On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif.
Cours. L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;... L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...
Pour déterminer l'ensemble des couples ordonnés qui représentent 𝑓 , on prend simplement chacun des éléments de l'ensemble de définition 𝑋 et on leur applique 𝑓 , l'un après l'autre, pour constituer des couples de la forme ( 𝑥 ; 𝑓 ( 𝑥 ) ) .
Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On dispose de deux méthodes pour résoudre l'équation z2=w : Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients.
Si z=a+ib avec a,b∈R, alors le module de z est le nombre réel positif |z|=√a2+b2. La notation rappelle fortement celle de valeur absolue, et ce n'est pas un hasard.
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l'ensemble ℕ est inclus dans l'ensemble ℤ.
Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
Si la lettre s est en début de mot ou entre deux consonnes ou entre une voyelle et une consonne, on entend le son [s]. Pour obtenir le son [s] entre deux voyelles, il faut doubler le s. Quand la lettre s est entre deux voyelles, on entend le son [z].
L'ensemble sans éléments est noté ∅ ou encore { } et est appelé l' ensemble vide. Un ensemble ayant un unique élément est appelé un singleton. Par exemple, {1} est le singleton d'élément 1 ∈ N. Pour un entier naturel n ≥ 1, l'ensemble {1,2,...,n} dont les éléments sont les entiers de 1 `a n est noté [1,n].
Les entiers naturels peuvent être classés en deux catégories : les nombres pairs et les nombres impairs. Les nombres pairs sont ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. Les nombres impairs se terminent par 1, 3, 5, 7 ou 9. Les entiers naturels peuvent aussi être appelés nombres entiers ou encore nombres naturels.
z=±(√√a2+b2+a2+sgn(b)⋅i√√a2+b2−a2). On a donc là aussi, quelles que soient les valeurs de a et b (c'est-à-dire quelque soit c), exactement deux racines carrées opposées l'une de l'autre. Remarques : Il ne faut pas retenir la formule précédente donnant les deux racines carrées d'un nombre complexe !
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Il faut considérer i comme un symbole représentant une racine carrée de -1. Si la définition de ce nombre est étonnante, il faut rappeler que l'ensemble des réels présente également des nombres qui ne sont pas aussi proches de la réalité que le suggère son nom.
Les nombres entiers (Z) forment un sous-ensemble des nombres réels (R) et ils incluent l'ensemble des nombres naturels (N). ( N ) . On peut utiliser cette notation pour le représenter. N⊂Z N ⊂ Z Cela se lit : « l'ensemble des nombres naturels est inclus dans l'ensemble des nombres entiers ».
L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895 d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition : où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.
Un ensemble est une collection bien définie d'objets qu'on nomme éléments. irrationnels). Par convention, l'emploi des symboles , ,ℚ et se restreindra ces ensembles. On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément.
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
Selon du Sautoy, l'astronome et mathématicien de l'Antiquité Brahmagupta est le premier à avoir employé le zéro. « Le texte de Brahmagupta intitulé Brahmasphutasiddhanta et écrit en 628 après J. -C.
√2 vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Pour plus de décimales, voir la suite A002193 de l'OEIS. Le calcul d'une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles.