On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Trouver la dimension du noyau de f := (x,y,z,t) ↦→ (x + 5y + 7t,2x + 4y + 6z + t). C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de départ diminué du rang de la matrice. Trouver la dimension du noyau de f := (x,y,z,t) ↦→ (x − y + z + t,−x + y − z + t,t).
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ E|f (v)=0}.
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x | f (x) = 0} = {x | Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 .
Ker est un appellatif toponymique breton utilisé le plus souvent comme premier élément d'un toponyme. Il désigne un lieu habité, un domaine, un hameau. Il est également courant dans les patronymes bretons.
Pour trouver une base du noyau il faut d'abord trouver ledit noyau, c'est-à-dire résoudre le système f(V)=AV=0. L'image est engendrée par les vecteurs colonne de la matrice. Il faut voir combien d'entre eux sont linéairement indépendants, ou utiliser le théorème du rang. (Ici, le rang est 2 et le noyau de dimension 1).
Exercice 2 Soit f ∈ L(E) telle que f3 = f2 + f, montrer que E = kerf ⊕ Imf. −→ y = f (−→x) ∈ Imf ∩kerf, il s'agit de prouver que −→ y = −→ 0 . Ainsi −→ y = −→ 0 . est bien la somme d'un élément de kerf et d'un élément de Imf.
X ↦− → AX . Calculer f (X1) et f (X2) où X1 = ( −1 2 ) , X2 = ( 3 2 ) , puis f (3X1 − 2X2). est bijective et on peut montrer qu'elle est linéaire a. On pourra donc identifier a les matrices colonnes de Mn,1(R) avec les n−uplets de réels, c'est à dire les éléments de Rn.
Une image matricielle, ou « carte de points » (de l'anglais bitmap), est une image constituée d'une matrice de points colorés. C'est-à-dire, constituée d'un tableau, d'une grille, où chaque case possède une couleur qui lui est propre et est considérée comme un point.
Réciproquement, supposons que Kerf = {0}. Soit u, v ∈ E tels que f(u) = f(v), autrement dit f(u) − f(v) = 0. Comme f est linéaire, on a f(u) − f(v) = f(u − v) = 0, donc u − v ∈ Kerf. On en déduit que u − v = 0, c'est-`a-dire u = v.
Le noyau de f est donc l'ensemble des fonctions polynômes P = b ( e 2 + e 1 − e 0 ) , c'est-à-dire telles que, pour tout réel x , P ( x ) = b ( x 2 + x − 1 ) , b appartenant à R .
On a E l'ensemble des vecteurs de l'espace (donc de dimension 3). Cela implique (théorème du rang) que la base de Im(f) doit être constituée de 2 vecteurs pour que dim(Im(f))=2.
Couple de nombres qui représentent le nombre de lignes et le nombre de colonnes d'un matrice. La dimension d'une matrice est synonyme de taille de cette matrice. Si une matrice comporte 3 lignes et 5 colonnes, on dira qu'elle est de dimension 3 par 5.
Connaissant la dimension du noyau de \(f\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f\). Ce théorème permet en effet d'écrire : \(\dim E=\dim\textrm{Ker}f+\dim\textrm{Im}f\). On a donc \(\dim\textrm{Im}f=\dim E-\dim\textrm{Ker}f=4-2=2\).
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres. On dira qu'une matrice est facile si l'une de ses colonnes a tous ses nombres nuls sauf exactement un.
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
la dimension de l'image est égale au rang de la matrice associée : dim Img f = rang A = 2. les vecteurs (2 ; 1 ; 0) et (-1 ; 0 ; 1) forment une base de Im f.
On a, f(e1) = (2,-1,5) = 2v1 -5v2, f(e2)=(-1,-1,-1) = -v1 +v2, f(e3) = (1,0,0) = v1 -v2 -v3. Donc, MC,B(f) = 2 -1 1 5 1 -1 0 0 -1 . Exercice 1-4 Soient c = (e1,e2,e3) la base canonique de R3.
L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
La matrice de passage de B1 à B2 permet de relier les coordonnées d'un vecteur dans B1 à celles dans B2 . Proposition : Soit w un vecteur de E , X1 ses coordonnées dans B1 , X2 ses coordonnées dans B2 et soit P1,2 P 1 , 2 la matrice de passage de B1 à B2 . Alors on a : X1=P1,2X2. X 1 = P 1 , 2 X 2 .