En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
On dit que f est monotone sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≤ 0, alors f est decroissante sur I.
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
1. Qui est toujours sur le même ton, qui offre une grande uniformité de son, de rythme : Chant monotone. 2. Qui lasse par le manque de variété dans les intonations ou les inflexions : Acteur monotone.
Manque lassant de variété. Synonyme : fadeur, grisaille, impersonnalité, platitude, prosaïsme, tristesse, uniformité. – Familier : ronron, train-train.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
5.3 Inverse d'une fonction monotone
Si on suppose que f ne s'annule jamais sur I, et qu'elle est de signe constant, alors la fonction inverse est monotone sur , de monotonie contraire à celle de f et de même signe.
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
Son sens de monotonie est donné par le signe de u1−u0 u 1 − u 0 . Si u1≥u0 u 1 ≥ u 0 , alors (un) est croissante, sinon (un) est décroissante. On conclut alors souvent de l'une des 2 façons suivantes : On arrive à prouver que (un) est bornée (parce que I l'est par exemple).
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Soient I un intervalle de R, et f : I −→ R une fonction continue. Supposons que l'intervalle I est stable par f. Notons (un) la suite définie par la donnée de u0 ∈ I et la relation de récurrence un+1 = f(un). Si la fonction f est strictement croissante sur I, alors la suite (un) est monotone.
Ainsi la fonction monotone définie par f : [ 0 , 1 ] → R , ∀ x ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = 0 et f ( 1 ) = 1 est intégrable et son intégrale vaut de façon évidente .
La monotone de chaleur est la courbe représentant le nombre d'heures durant lesquelles la puissance thermique est appelée au cours de l'année et ce pour chaque puissance appelée comprise entre un arrêt du chauffage (puissance nulle) et la puissance thermique maximale appelée.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
En 0, sa limite à gauche vaut –∞ et à droite, +∞.
La fonction inverse est la fonction définie sur R∗=]−∞;0[∪]0;+∞[ qui, à tout réel x différent de 0, associe son inverse x1.
Adjectif. Qui est toujours sur le même ton, qui n'est pas varié dans ses intonations ou dans ses inflexions. (Par extension) Qualifie un orateur dont le débit n'est pas varié. (Sens figuré) Qualifie des choses qui sont uniformes, qui manquent de variété.
Qui est toujours sur le même ton, ou dont le ton est peu varié. ➙ monocorde.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
informe adj. Qui n'a pas de forme nette, déterminée, reconnaissable.
Contraire : apprentissage, innovation, nouveauté.
affligeant, catastrophique, déplorable, désastreux, désolant, fâcheux, fatal, inhabile, lamentable, malencontreux, mauvais, néfaste, pénible, redoutable, regrettable. – Littéraire : calamiteux.