Définition : Deux suites et sont dites adjacentes si les conditions suivantes sont vérifiées: L'une est croissante et l'autre est décroissante. lim n → + ∞ ( v n − u n ) = 0.
Théorème : Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite! En particulier, si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante, et si ℓ est leur limite commune, alors pour tout couple d'entiers naturels (p,q) , on a up≤ℓ≤vq.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
Pour une suite géométrique, le quotient entre termes consécutifs est constant, alors que pour une suite arithmétique, c'est la différence entre termes consécutifs qui est constante.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale (−1) prend alternativement les valeurs –1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Une fonction peut-elle être ni croissante ni décroissante ? - Quora. Oui, cela s'appelle une fonction non monotone. C'est une fonction qui ne croit ni ne décroit.
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.
On note u n → + ∞ ou encore lim n → + ∞ u n = + ∞ , tout en remarquant l'ambiguité de cette notation, car une suite qui tend vers n'est pas convergente et il est préférable de réserver le symbole lim pour les suites convergentes. On définit de façon analogue les suites qui tendent vers .
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Autrement dit, et en reprenant les termes de la définition, à partir d'un certain rang n, tous les termes de la suites tendent vers le réel L. Si la suite ne se rapproche d'aucun réels, alors elle est divergente.
- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua . - Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique ou plus généralement d'un espace uniforme, dont les termes se rapprochent les uns des autres. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de la complétude.
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant : Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant.